Deux agences web d'une même ville répondent au même appel d'offres. Chacune sait que l'autre est en lice. Si les deux tiennent leur tarif, la gagnante fera une marge correcte. Mais chacune se dit que l'autre va casser son prix, et rogne donc le sien « par sécurité ». Résultat : celle qui l'emporte travaille à perte ou presque, et le client a pris l'habitude d'un prix intenable.
Personne n'a été stupide dans cette histoire. Chaque décision, prise isolément, était raisonnable. C'est l'addition des deux qui est mauvaise. Ce mécanisme porte un nom depuis 1950, et il a valu un prix Nobel à son auteur.
Cet article retrace l'origine de l'équilibre de Nash, ce que les expériences ont confirmé et contredit, comment le raisonnement fonctionne, et surtout comment vous en servir pour vos prix, vos partenariats et vos négociations.
De von Neumann à Nash : une thèse de 1950 qui change la donne
La théorie des jeux naît officiellement en 1944, quand le mathématicien John von Neumann et l'économiste Oskar Morgenstern publient Theory of Games and Economic Behavior. Leur outillage est puissant, mais il traite surtout les jeux à somme nulle à deux joueurs : ce que l'un gagne, l'autre le perd. Or la plupart des situations économiques ne sont pas de ce type : deux concurrents peuvent perdre ensemble, ou gagner ensemble.
John Forbes Nash (1928-2015), alors doctorant à Princeton, lève ce verrou. Dans sa thèse de 1950 sur les jeux non coopératifs, et dans une courte note publiée la même année dans les Proceedings of the National Academy of Sciences, il définit un point d'équilibre valable pour n'importe quel nombre de joueurs et n'importe quelle structure de gains, et démontre qu'il en existe toujours au moins un dans tout jeu fini, à condition d'autoriser les stratégies mixtes (choisir au hasard selon certaines probabilités).
La définition tient en une phrase : un équilibre de Nash est une situation dans laquelle aucun joueur ne peut améliorer son résultat en changeant seul de stratégie, les stratégies des autres étant données.
La même année, à la RAND Corporation, Merrill Flood et Melvin Dresher imaginent un jeu destiné à mettre cette idée à l'épreuve. Le mathématicien Albert Tucker, directeur de thèse de Nash, lui donne son habillage de suspects interrogés séparément : le dilemme du prisonnier est né. Le concept se diffuse ensuite dans toute l'économie, de l'analyse de la concurrence à la conception des enchères. En 1994, Nash reçoit le prix de la Banque de Suède en sciences économiques, partagé avec John Harsanyi et Reinhard Selten. Le film Un homme d'exception (A Beautiful Mind, 2001) le fera connaître du grand public.
Ce que les expériences ont confirmé, et ce qu'elles ont nuancé
L'équilibre de Nash est un théorème : sa démonstration ne se discute pas. Ce qui se teste, c'est sa capacité à prédire le comportement de personnes réelles.
L'expérience fondatrice (1950). Flood et Dresher font jouer cent manches de leur jeu à deux collègues, l'économiste Armen Alchian et le mathématicien John Williams. La théorie prédisait la trahison systématique. Les deux joueurs ont pourtant coopéré mutuellement dans 60 manches sur 100. Premier enseignement : dès qu'un jeu se répète, les humains cherchent à coopérer.
Les tournois d'Axelrod. Vers 1980, le politologue Robert Axelrod invite des spécialistes à soumettre des programmes informatiques qui s'affrontent dans un dilemme du prisonnier répété. Le premier tournoi réunit 14 stratégies, le second 62. Le vainqueur des deux est le programme le plus simple, « donnant-donnant » (Tit for Tat), proposé par Anatol Rapoport : coopérer au premier tour, puis reproduire le coup précédent de l'autre. Axelrod en tire son livre The Evolution of Cooperation (1984).
Le jeu de l'ultimatum (1982). Werner Güth, Rolf Schmittberger et Bernd Schwarze demandent à un joueur de proposer le partage d'une somme, que l'autre accepte ou refuse, auquel cas personne ne touche rien. Le calcul strict voudrait qu'on accepte n'importe quelle miette. En pratique, les offres jugées trop basses sont souvent refusées : les gens paient pour sanctionner l'injustice.
Les limites connues. Donnant-donnant n'est pas une stratégie universellement optimale : son succès dépend des adversaires rencontrés, et elle résiste mal aux erreurs, puisqu'un seul malentendu déclenche une série de représailles en écho. Martin Nowak et Karl Sigmund ont montré en 1993 qu'une autre règle, « je garde si je gagne, je change si je perds », fait mieux dans un environnement bruité. Autre limite : beaucoup de jeux ont plusieurs équilibres, et la théorie ne dit pas lequel sera joué. Enfin, le modèle suppose des joueurs parfaitement calculateurs, ce que contredisent les travaux sur des biais comme l'aversion à la perte.
Comment fonctionne un équilibre de Nash
Le dilemme du prisonnier, case par case
Deux suspects sont interrogés séparément. Chacun peut se taire (coopérer avec son complice) ou le dénoncer.
| B se tait | B dénonce | |
|---|---|---|
| A se tait | 1 an chacun | A : 5 ans, B : libre |
| A dénonce | A : libre, B : 5 ans | 3 ans chacun |
Mettez-vous à la place de A. Si B se tait, dénoncer vous fait passer de 1 an à la liberté. Si B dénonce, dénoncer vous fait passer de 5 ans à 3 ans. Dans les deux cas, dénoncer est préférable : c'est une stratégie dominante. B tient le même raisonnement. Les deux dénoncent et prennent 3 ans, alors que le silence mutuel leur en aurait coûté un seul.
« Les deux dénoncent » est l'équilibre de Nash : aucun des deux ne gagne à changer seul. « Les deux se taisent » n'en est pas un, car chacun a intérêt à dévier. Équilibre veut dire stable, pas bon.
Tous les jeux ne sont pas des dilemmes
Dans un jeu de coordination, il existe plusieurs équilibres. Adopter le même standard technique que ses partenaires est stable quel que soit le standard retenu : personne n'a intérêt à être seul avec un format incompatible. Le risque n'est plus la trahison, mais de rester collectivement bloqué sur le moins bon choix.
Pourquoi la répétition change tout
Joué une seule fois, le dilemme mène à la trahison. Répété sans date de fin connue, il autorise la coopération : trahir aujourd'hui rapporte une fois, mais coûte la coopération de toutes les manches suivantes. Plus le futur pèse lourd, plus la coopération tient. À l'inverse, quand la fin est connue et proche, la tentation de trahir au dernier coup remonte de proche en proche.
Trois situations d'entreprise où l'on retrouve ce mécanisme
La guerre des prix. Prenons un exemple volontairement simplifié, avec des chiffres fictifs. Deux prestataires se partagent un marché local. Aux tarifs actuels, chacun dégage 100 000 euros de marge. Si un seul baisse ses prix, il capte des clients et monte à 130 000 euros, l'autre tombe à 50 000. Si les deux baissent, chacun finit à 70 000. Baisser est la stratégie dominante, et les deux perdent 30 000 euros. C'est le dilemme du prisonnier à l'identique. Une analyse des 5 forces de Porter aide à repérer les secteurs les plus exposés à ce piège.
La guerre des standards. Dans les années 1970, Sony lance le Betamax (1975) et JVC le VHS (1976). Deux équilibres étaient possibles, un seul a survécu : une fois que loueurs, fabricants et clients ont convergé vers le VHS, plus personne n'avait intérêt à en sortir seul. Une PME rencontre la même logique à chaque choix de logiciel ou de format d'échange avec ses clients et fournisseurs.
La coopétition. Le terme a été popularisé par Adam Brandenburger et Barry Nalebuff dans Co-opetition (1996). PSA et Toyota, concurrents directs, ont ainsi partagé une usine à Kolín, en République tchèque, pour produire à partir de 2005 trois citadines jumelles : Peugeot 107, Citroën C1 et Toyota Aygo. Coûts de développement et de production mutualisés, concurrence maintenue sur la marque et la distribution. À l'échelle d'une PME, c'est le groupement d'achats ou la réponse conjointe à un marché trop gros pour un seul.
Appliquer la théorie des jeux à vos décisions
- Listez les joueurs et leurs options. Concurrents, clients, fournisseurs, associés : qui décide de quoi ?
- Estimez les gains de chacun, pas seulement les vôtres. Une grille à quatre cases suffit souvent.
- Cherchez l'équilibre. Si chacun suit son intérêt, où arrive-t-on ? Ce résultat vous convient-il ?
- Si l'équilibre est mauvais, changez le jeu. Allongez l'horizon (contrats pluriannuels, récurrence), rendez les comportements visibles, différenciez-vous pour sortir de la comparaison au prix. Savoir fixer ses tarifs sur la valeur plutôt que sur le concurrent en fait partie.
- Dans la durée, jouez donnant-donnant avec une marge de pardon : coopérez d'abord, réagissez nettement à un manquement, puis revenez à la coopération dès que l'autre y revient.
| Situation | Type de jeu | Risque | Levier |
|---|---|---|---|
| Appel d'offres, tarifs | Dilemme du prisonnier | Guerre des prix | Différenciation, relation longue |
| Choix d'outil ou de format | Coordination | Blocage sur un mauvais standard | Concertation, décision annoncée tôt |
| Partenariat entre concurrents | Jeu répété | Opportunisme | Périmètre clair, règles de sortie |
| Négociation ponctuelle | Jeu à un coup | Offre perçue comme injuste | Proposition équitable et argumentée |
L'erreur classique à éviter : confondre coopération implicite et entente. S'accorder avec un concurrent sur les prix ou se répartir des marchés est interdit par le droit de la concurrence (article L. 420-1 du Code de commerce, article 101 du traité sur le fonctionnement de l'Union européenne), avec des amendes pouvant atteindre 10 % du chiffre d'affaires mondial. La théorie des jeux vous aide à comprendre la dynamique et à ajuster seul votre positionnement, pas à vous concerter sur les tarifs.
La seconde erreur est de croire que l'équilibre est une fatalité. Il décrit où mène un jeu donné. Votre marge de manœuvre de dirigeant consiste précisément à modifier les règles : durée, transparence, différenciation.
